[[多自由度コロキウム]]

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*第1回(7/4) [#ce9fc00a]
**魚群の中立モデル [#dd5bfbed]

-''日時''
 7月4日(木) 16時00分〜 (2時間程度を予定)

-''講演者''
 丹羽洋智氏(独立行政法人水産総合研究センター中央水産研究所・主幹研究員)


-''要旨''
 BonabeauとDagorn[1]により集群性海産魚類の群れサイズ分布がベキ分布に従うことが指摘された後、有限サイズスケーリングの議論が適用できることが示された[2,3]。様々な魚群サイズ頻度データは、特徴的な魚群サイズ(サイズ分布の2次のモーメントの1次のモーメントに対する比で与えられ、厳密には対数的な補正が必要[4])でスケーリングしてプロットすると、1つの曲線上に落ち、それはFisher対数級数則(指数−1のベキ乗則で裾が指数関数的に切断される分布)に従う。~
 魚群の合併分裂過程では、集団中の個体がクラスターとして相互作用し、様々なサイズのクラスターへの分割パターンのダイナミクスを有限または可算状態を持つMarkov連鎖としてモデル化できる。Durrett et al.[5]は、状態の同時確率分布に対するマスター方程式に詳細釣り合い条件を課し、クラスター形成ダイナミクスの定常分布として、合併および分裂率が群れサイズに比例している場合(優先的選択クラスター形成モデル)に多変量Ewens分布を導き、サイズ別クラス毎の群れの数の期待値はFisherの対数級数則に従うことを示した。~
 一方、中立な群れ形成のシミュレーション(集団内の個体が群れとしてランダムに移動し偶然に出会った時に合併、また、群れはサイズに依存しない確率で2つに分裂し分かれた後のサイズは一様分布)では、群れサイズ分布は対数級数則に従う。群れ形成が中立な集団で、ある1個体に注目し、それが属する群れサイズの時間発展を確率微分方程式により解析することで、このシミュレーション結果は説明出来る[2,3]。~
 さらに、合併分裂確率が群れサイズに比例するクラスター形成過程のシミュレーションでは、結果はEwens分布と食い違い、クラスターサイズ分布は(指数関数の裾をもつ)指数−2のベキ分布が得られた。~
 クラスターの分割ベクトル(各サイズのクラスター数の一組)の代わりに、各々の群れサイズに属する魚の総個体数の一組を状態ベクトルと見なすことで、クラスター形成過程はある群れサイズ・クラスから他のクラスへの魚の退出参入のMarkovダイナミクスと記述できる。合併分裂にサイズ選好性がない中立描像では、分裂によるあるサイズ・クラスからの個体の退出速度はそのクラスに属する魚の総個体数(群数×群サイズ)に比例する。また、ある2つのサイズの群れの合併頻度は両者のクラスの群れの数の積に比例するので、各クラスからの退出速度はそのクラスの総個体数と他方のクラスの群数の積に比例し、従って、合併による状態の遷移率は両者の群れの属するクラスの総個体数の積に比例する。各クラスを占める個体数で記述した状態ベクトルの中立な合併分裂による遷移の詳細釣り合い条件は、Durrett et al.の優先的選択描像と等価な結果を与え、定常状態の確率分布として多変量Ewens分布を導く。~
 Ewens分布はただ1つのパラメータΘで記述され、魚群サイズ分布ではΘの値は魚群の分裂と合併の速度の比で与えらる。Θが小さく値が1では全ての魚がただ1つの巨大な群れを形成する確率が無視できなくなる。中立な群れ形成シミュレーションによると、Θ<1のとき、その確率はEwens分布が予測する値を大きく上回る。 また、観測されるクラスターサイズは間欠的で、Θ>1では、その差分は指数−2のベキ型の分布に従うこと、Θ<1でベキ指数はゼロに近づくことが見出された。

-''参考文献'':

  [1] Bonabeau, E., Dagorn, L., 1995. Possible universality in the size distribution of fish schools. Phys. Rev. E 51, R5220–R5223.

  [2] Niwa, HS., 2003. Power-law versus exponential distributions of animal group sizes. J. Theor. Biol. 224, 451–457.

  [3] Niwa, HS., 2004. Space-irrelevant scaling law for fish school sizes. J. Theor. Biol. 228, 347–357.

  [4] Zillio, T., Banavar, JR., Green, JL., Harte, J., Maritan, A., 2008. Incipient criticality in ecological communities. PNAS 105, 18714-18717.

  [5] Durrett, R., Granovsky, BL., Gueron, S., 1999. Equilibrium behavior of the reversible coagulation-fragmentation processes. J. Theor. Probab. 12, 447–474.

//H. Watanabe and H. Murayama,
//Unified Description of Nambu-Goldstone Bosons without Lorentz Invariance,
//[[Phys. Rev. Lett. 108, 251602 (2012)>http://prl.aps.org/abstract/PRL/v108/i25/e251602]]. 
//([[e-print arXiv:1203.0609>http://jp.arxiv.org/abs/1203.0609]])

//-
//American Physical Society の [[exceptional research>http://physics.aps.org/synopsis-for/10.1103/PhysRevLett.108.251602]] に選ばれました

 

名古屋大学 情報科学研究科 複雑系科学専攻 多自由度システム情報論講座